Поредното заседание на Общия семинар на секция "Анализ, геометрия и топология" ще се проведе на 10 март 2015 г. от 14:00 часа в зала 478 на ИМИ.

Доклад на тема:

Обобщени дробни производни от типа на Риман-Лиувил и Капуто

ще изнесе проф. Виржиния Кирякова.

Поканват се всички интересуващи се.

Резюме:

В Дробното смятане (ДС), както в класическото диференциално и интегрално смятане, понятията производна и интеграл (от първи, втори, и т.н. или произволен, вкл. нецял ред) са взаимно свързани. Един от най-често използваните подходи в ДС е първо да се дефинира т.нар. интеграл на Риман-Лиувил (Р-Л) от дробен ред, и чрез операция за подходящо целочислено диференциране приложена върху него (или под неговия знак) се дефинира коректно и дробна производна – в смисъл на Р-Л (или съответно на Капуто). Първата спомената (Р-Л тип) е по-близка до теоретичните занимания в анализа, но има някои недостатъци - както от гледна точка на интерпретирането на началните условия при задачи на Коши (задавани също с производни / интеграли от дробен ред), така и поради смута, че такава производна от константа в общия случай не е нула. С производната в смисъл на Капуто (К), възникнала при геофизични изследвания, се преодоляват тези проблеми и могат да се описват модели на приложни задачи със смислени от физическо естество класически начални условия. Има напоследък и автори, които пък оспорват преимуществата на К-производната пред тази на Р-Л, с примери на модели от теория на управлението.

Операторите (интеграли и производни) на обобщеното дробно смятане представляват комутиращи m-кратни (m = 1, 2, 3,...) композиции на оператори на класическото ДС със степенни тегла (т.нар. оператори на Ердей-Кобер), представени компактно и експлицитно чрез интегрални, диференциално-интегрални (Р-Л) или съотв. интегрално-диференциални (К) оператори, чиито ядра са специални функции от най-общ хипергеометричен тип.

В този обзор представяме генезиса на дефиницията на обобщените дробни производни (от дробен мулти-ред) от типа на Р-Л, и въвеждането на нови такива от типа на Капуто, както и анализ на свойствата им и случаи на съвпадение на дефинициите (например при хипербеселовите диференциални оператори от ред m = мулти-ред (1, 1, …, 1) и при операторите на Гелфонд-Леонтиев за обобщено диференциране). Разглеждат се няколко конкретни примера на двата типа производни и на задачи на Коши за диференциални уравнения от дробен ред с производни на Р-Л или Капуто и с начални условия от съответния тип, като решенията им и в двата случая са естествено свързани с функцията на Митаг-Лефлер или мулти-индексните й аналози.